1.2 Notion de variable aléatoire

1.2.1 Définition

Définition

Une variable aléatoire est la donnée conjointe d’une expérience aléatoire et d’une règle qui associe une valeur au résultat de cette expérience aléatoire. Une variable aléatoire réelle est une variable aléatoire qui prend ses valeurs dans l’ensemble des nombres réels, noté \(\mathbb{R}\).

Par exemple, un lancer de deux dés, et la règle qui lui associe la somme des faces visibles est une variable aléatoire. Le tirage aléatoire d’un ménage dans la population française, et la règle qui lui associe son adresse est un autre exemple de variable aléatoire. Le tirage d’un ménage choisi aléatoirement dans la population française, et la règle associe son niveau de vie mesuré en euros est un exemple de variable aléatoire réelle.

Avertissement

Il ne suffit pas que deux variables aléatoires suivent la même règle pour être égales entre elles : il faut également qu’elles portent sur la même expérience aléatoire.

Ainsi, la variable aléatoire définie par l’âge de la personne de référence du premier ménage tiré dans l’échantillon de l’enquête Emploi en continu, et l’âge de la personne de référence du deuxième ménage tiré dans l’échantillon de l’enquête Emploi en continu définissent deux variables aléatoires distinctes. En effet, elles portent sur deux expériences aléatoires différentes, quand bien même la règle qui associe à chaque résultat possible une valeur est la même pour les deux variables aléatoires.

Remarque

Aussi longtemps que l’on ne discute par de la façon dont on peut les mesurer à partir de données observables, availler sur des variables aléatoires réelles n’implique nécessairement pas de se restreindre à des faits ou des concepts dont la traduction dans une grandeur quantitative (comme le niveau de vie pour les ménages) est immédiate. En effet, pour tout événement \(e\), c’est-à-dire pour tout sous-ensemble de l’ensemble des résultats possibles d’une expérience aléatoire, la fonction qui renvoie 1 si \(e\) se produit, et 0 sinon est une variable aléatoire réelle. L’événement \(e\) peut tout aussi bien avoir une définition claire en termes de variables observables à valeurs réelles (être un ménage dont le niveau de vie est inférieur au seuil de pauvreté) qu’une définition dont la traduction est nettement moins immédiate (avoir telle ou telle structure de capital culturel).

1.2.2 Indépendance

Définition

Deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) définie sur le même espace de départ sont dites indépendantes lorsque, quelles que soient les parties \(A\) et \(B\) de leurs espaces d’arrivée respectifs, on a \(\mathbb{P}(X \in A,\, Y \in B) = \mathbb{P}(X \in A) \mathbb{P}(Y \in B)\).

Cette définition peut être étendue à un nombre quelconque \(n\) de variables aléatoires \(X_1\) à \(X_n\), qui sont dites indépendantes si pour toutes les parties \(A_1\) à \(A_n\) de leurs espaces d’arrivée respectifs on a \(\mathbb{P}(X_1 \in A_1,\, \dots, \, X_n \in A_n) = \mathbb{P}(X_1 \in A_1) \dots \mathbb{P}(X_n \in A_n)\).

Lorsque deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\) sont indépendantes, on peut noter formellement : \(X \perp \!\!\! \perp Y\).