A.3 Nécessité de la condition de rang

On peut supposer sans perte de généralité que l’on dispose d’un réel \(\lambda\), et de \(d-1\) réels \(\mu_1\) à \(\mu_d\) tels que \(X_d = \lambda + \sum_{i=1}^{d-1} \mu_i X_i\). Supposons que l’on dispose par ailleurs de \(\alpha\), \(\beta\) et \(\epsilon\) tels que : \[\left\{\begin{array}{l} Y = \alpha + \beta' X + \epsilon \\ \mathbb{E}[\epsilon] = 0 \\ \mbox{Pour tout }i\mbox{ dans }\{1, \dots, d\},\;\mathcal{C}(X_i,\epsilon)=0 \end{array}\right.\] Mais alors le réel \(\tilde{\alpha} = \alpha + \beta_d \lambda\) et le vecteur \(\tilde{\beta}=(\beta_1 + \beta_d \mu_1 \dots \beta_{d-1} + \beta_d \mu_{d-1} \; 0)'\) vérifient les mêmes conditions que \(\alpha\) et \(\beta\). Ainsi, \(\alpha\) et \(\beta\) ne sont plus définis de façon unique.